Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература | |
|
|
![]() ![]() ![]() Приложения определенного интеграла. |
|
||||||||
5.2.4. Длина дуги кривой. |
||||||||
![]()
Под длиной дуги AB понимается предел, к которому
стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а длина наибольшего звена
стремится к нулю.
A = M0 ; M1 ; M2 ; ... ; Mn-1 ; Mn = B
Тогда:
а длину всей ломаной можно получить суммируя все её звенья.
Перейдем к пределу, считая, что длина наибольшего звена стремится к нулю.
Пример :Найти длину дуги кривой
где
При стремлении отрезка ломаной к нулю можно считать, что
Тогда
можно записать:
Эта формула для вычисления дифференциала дуги.
Пример:
Найти длину дуги астроиды
Выведем сначала дифференциал дуги dl в полярных координатах. Из
предыдущего раздела известно, что
Тогда:
Пример: Вычислить полную длину дуги кардиоиды (см. 5.2.2, пример 1)![]() ![]() В силу симметрии запишем:
|
|