Важность нормального закона распределения определяется рядом причин:

1. Такое распределение служит хорошей математической моделью для ряда наблюдаемых случайных явлений и этот факт можно строго доказать для многих ситуаций.

2. Нормальное распределение принадлежит к числу немногих, позволяющих описывать ситуации с произвольным числом случайных величин.

3. Любые линейные комбинации нормальных случайных величин, также являются нормальными. Для большинства других случайных величин это утверждение не справедливо.

4. Нормальный (гауссовский) случайный процесс может быть полностью описан (в статистическом смысле) при помощи только первого и второго моментов. Для других процессов это утверждение не верно.

5. Исчерпывающий статистический анализ в ходе системного анализа как для линейных, так и для нелинейных преобразований случайных прочесов часто удается выполнить, только если эти процессы нормальные (гауссовские).

Функция плотности нормального закона распределения имеет вид.

.

Функция распределения

.

Рис.1	Рис.2

Графики плотности и функции распределения вероятностей нормального закона приведены на рисунках 1 и 2. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой. Она представляет собой колоколообразную фигуру, симметричную относительно прямой х = а и асимптотически приближающуюся к оси абсцисс при . Как следует из определения нормальный закон распределения определяется двумя параметрами а и .

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиняющейся нормальному закону.

.

Так как  (под знаком интеграла с симметричными пределами стоит нечетная функция), . 

Итак, имеем М(х) = а.

Первое слагаемое , так как экспонента растет быстрее, чем (х - а) при . Второе слагаемое

Таким образом имеем

Свойства нормального распределения.

Свойство 1. Функция плотности нормального распределения в точке х = а имеет максимум, равный .

Свойство 2. График функции плотности f(x) симметричен относительно прямой, проходящей через точку а: х = а.

Из этого свойства следует равенство для нормально распределенной случайной величины моды, медианы и математического ожидания.

Свойство 3. Кривая распределения имеет две точки перегиба с координатами  и .

При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется, график кривой сдвигается влево или вправо. При изменении же параметра  меняется форма кривой. С возрастанием максимальная ордината кривой распределения уменьшается, а с уменьшением  - возрастает. Так площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице, то с ростом  кривая распределения сжимается к оси абсцисс и растягивается вдоль нее, с уменьшением  нормальная кривая растягивается вдоль оси ординат ( рис. 3).

Рис.3

Функция плотности распределения с параметрами а = 0,  = 1 называется нормированной плотностью, а ее график нормированной нормальной кривой.

Вероятность попадания в заданный интервал.

По определению имеем

где  - функция Лапласа, ее значения табулированы. Функция Лапласа нечетная функция, то есть Ф(-х) = Ф(х).

Окончательно получим:

Если промежуток симметричен относительно точки а, то  и

Итак

В частности при , получим

, то есть вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратичное отклонение очень мала. Практически такие события можно считать невозможными. В этом состоит правило трех сигм.