Темы | Предыдущий пункт | Литература
Лекция 11.3.

Ряды Фурье.

11.3.2. Ряд Фурье на произвольном интервале.

Периодическую функцию f(x), заданную на отрезке [ 0, l ], можно произвольно продолжить на отрезок [ - l, 0 ]. Обычно данную функцию продолжают четным или нечетным образом, в первом случае симметрично оси OY, во втором, симметрично началу координат.

При разложении функции f(x) в ряд Фурье на отрезке [ 0, 2l ] пределы интегрирования в формулах (2) параграфа 7.3 будут 0 и 2l. Если отрезок произвольный [ a, b ] длины 2l, то пределы интегрирования будут a и a+2l.

Пусть на отрезке задана непериодическая функция f(x). Для разложения функции  f(x) в ряд Фурье необходимо дополнить ее произвольной гладкой функцией g(x) до отрезка, и полученную составную функцию 

продолжить периодически (Т=2l) на всю числовую ось.

Функция Y(x) может быть разложена в ряд Фурье за исключением может быть точек

Произвольную функцию g(x) можно подобрать таким образом, что сумма S(x) ряда Фурье будет равна значению функции f(x) в точках то есть , если

Если то функцию g(x) можно подобрать так, чтобы составная функция Y(x) была  четной или нечетной. Тогда либо: либо где n = 0,1, 2, 3, ...

n = 1, 2, 3, ...

Построение графика функции и ряда Фурье.

Пример 1:

Разложить функцию в ряд косинусов на отрезке [0 , ].

Решение:  Продолжим данную функцию четным образом (см. рисунок, пунктир). Тогда по формуле (2) параграфа 7.3.1 :

При интегрировании использован метод интегрирования по частям.

, т.к (-1)2k=1, (-1)2k+1= -1. Поэтому:

Пример 2:

Разложить в ряд Фурье функцию    по синусам.

Решение: Доопределим функцию на интервале [-, 0 ] нечетным образом, тогда  an = 0. По формуле (4) параграфа 7.3.1:

Следовательно:  

И ряд Фурье имеет вид:

Пример 3: 

Разложить функцию в ряд синусов на отрезке [-, 0 ] нечетным образом. 

Решение: Продолжим функцию на отрезке [-, 0 ] нечетным образом. Тогда an = 0. По формуле (4) параграфа 7.3.1:

При n = 1 

Подставляя коэффициенты bn в ряд Фурье, получим:

На границах промежутка [-π, 0 ] сумма ряда Фурье:

Значение функции f(x) на границах промежутка: f(0)= 0, f(-)= - , то есть . Таким образом, в точках x = 0 и x = - разложение функции  в ряд Фурье не является справедливым.

Пример 4: 

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x)=x2 на отрезке [0, 2].

 Из рисунка ясно, что данная функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной). По формулам (2) параграфа 7.3 :

При интегрировании дважды применили метод интегрирования по частям.

Аналогично:    , следовательно,

Данное разложение не справедливо в точках разрыва так как в этих точках сумма ряда Фурье равна:

Значения функции равны либо 0, либо 42 (см. рисунок).

Задачи для самостоятельного решения.