Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература
Лекция 11.3.

Ряды Фурье.

11.3.1. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

 

Для четной функции (т.е. при выполнении для любого равенства f(- x) = f(x) ),  коэффициенты bn = 0 и ряд Фурье не содержит синусов: 
(1)

При этом:
(2)

Для нечетной функции, (т.е. при выполнении для любого равенства f(- x) = - f(x) ) коэффициенты an = 0 и ряд Фурье не содержит косинусов:
(3)

 При этом:
(4)

Построение графика функции и ряда Фурье.

 

Пример 1.

Разложить в ряд Фурье функцию   на отрезке [- 2, 2 ].

Решение:  

Данная функция нечетная. В соответствии с формулой (4):

Подставляя bn в формулу (3) и придавая n значения 1, 2, 3, 4..., получим:

Пример 2: 

Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком:

Решение:  Данная функция нечетная (функция симметрична началу координат). Следовательно ряд Фурье содержит только синусы.

Коэффициент bn равен:

Следовательно разложение имеет вид:

Пример 3:

Разложить периодическую функцию в ряд Фурье:  

Решение: Данная функция при является четной, поэтому раскладывается в ряд Фурье по косинусам. В данном случае по формуле (2):

Применили метод интегрирования по частям:

Следовательно разложение имеет вид:

 Задачи для самостоятельного решения.