Лекция 11.2.

Степенные ряды

(1)

называется функциональным рядом. 

Он называется сходящимся в точке x = x₀ если сходится числовой ряд .

Множество значений при которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда. Обозначим ее D_s. Как правило, область  не совпадает с областью D_x, а является ее частью .

Пример

Найти область сходимости функционального ряда

Данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем  q = ln x. Такой ряд сходится, если , т.е. при -1 < ln x < 1 . Поэтому областью сходимости исследуемого ряда является интервал D_s :  1/e < x < e.

Пусть S(x) сумма ряда (1), а 

S_n(x) = U₁(x) + U₂(x) + ... + U_n(x)

n - я  частичная сумма ряда, то ее n - й остаток определяется равенством:

r_n (x) = S (x) - S_n (x) = U_n+1 (x) + U_n+2 (x) +... 

В области сходимости ряда:      .

Приведем другое определение суммы функционального ряда:

Функция S(x) называется суммой ряда (1) в некоторой области D, если для любого существует такой номер  N₀ = N₀ (x), что при всех  n > N₀ справедливо неравенство:

(2)

В общем случае N₀ зависит от х, т.е. при заданном натуральные числа N₀ различны для разных значений .  Если же существует один номер N₀ такой, что при n > N₀ неравенство (2) справедливо для всех , то ряд (1) называется равномерно сходящимся в D. 

В случае равномерной сходимости функционального ряда его n - я частичная сумма является приближением суммы ряда с одной и той же точностью для всех .

Функциональный ряд (1) называется мажорируемым в некоторой области D, если существует сходящийся числовой ряд: 

(3)

Такой, что для всех справедливы неравенства:      

Ряд (3) называется мажорантным (мажорирующим) рядом. 

Например, функциональный ряд:

мажорируется рядом:

  ,    т.к. . 

Данный функциональный ряд равномерно сходится на всей оси ОX, поскольку он мажорируется при любом x.  Равномерно сходящиеся ряды обладают некоторыми общими свойствами:

1)  Если члены равномерно сходящегося ряда непрерывны на некотором отрезке, то его сумма также непрерывна на этом отрезке; 

2) Если члены ряда (1) непрерывны на отрезке  и ряд равномерно сходится на этом отрезке, то в случае, когда ,    

где S(x)– сумма ряда (1); 

3) Если ряд (1), составленный из функций, имеющих непрерывные производные на отрезке [a, b], сходится на этом отрезке к сумме S(x) и ряд       равномерно сходится на том же отрезке, то 

Степенные ряды.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида где   a₀ , a₁ , a₂ ,...,a_n ,...  постоянные числа, называемые коэффициентами ряда, x₀ фиксированное число.    При x₀ = 0 получаем степенной ряд вида:

(4)

Теорема Абеля.

1. Если степенной ряд (4) сходится при некотором значении , то он абсолютно сходится при всяком значении x, удовлетворяющем условию .

2. Если степенной ряд (4) расходится при некотором значении x = x₂ , то он расходится при любых x  для которых .

Неотрицательное число R, такое, что при всех    степенной ряд (4) сходится, а при всех    расходится, называется радиусом сходимости ряда.

Интервал (- R ; R ) называется интервалом сходимости ряда (4). Радиус сходимости степенного ряда (4) определяется формулой:

или

(5)

если, начиная с некоторого , все     (Предполагается, что указанные пределы существуют или бесконечны).

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда:              

Так как      , ,    то   

       Значит, степенной ряд сходится в интервале   ( - 3 / 2 ; 3 / 2 ).

На концах этого интервала ряд может сходиться или расходиться.   При x = - 3 / 2  данный ряд принимает вид:   . Он сходится по признаку Лейбница. При  x = 3 / 2 получаем ряд  , члены которого больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда. Значит, при  x = 3 / 2  степенной ряд расходится. Следовательно, областью сходимости исходного степенного ряда является полуинтервал [ - 3 / 2 ; 3 / 2 ).  

Если дан ряд вида , то его радиус сходимости определяется также по формуле (5), а интервал сходимости будет интервал с центром в точке .x = x₀ : ( x₀ - R; x₀ + R )

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда:    

Найдем радиус сходимости данного ряда: , т.е. ряд сходится в интервале (0; 4). При x = 0 получаем ряд , который расходится, так как его члены больше членов расходящегося гармонического ряда, а при x = 4 ряд , где , сходится по признаку Лейбница. Область сходимости данного ряда:   (0;4].

На всяком отрезке , лежащем внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится равномерно, поэтому его сумма в интервале сходимости является непрерывной функцией. Степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать в их интервалах сходимости. Радиус сходимости при этом не изменяется. 

Пример:

Найти сумму ряда:        

При данный ряд сходится (так как R = 1), значит, его можно почленно дифференцировать в интервале сходимости. Обозначив сумму ряда через S(x), имеем  

Так как , полученный ряд есть сумма членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем   q = x² и его сумма . Проинтегрировав ряд из производных, найдем сумму данного ряда: .

Задачи для самостоятельного решения.