Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература | ||||
|
||||
Лекция 2.3. Плоскость и виды ее уравнения в пространстве. | ||||
2.3.2. Общее уравнение плоскости. В предыдущем параграфе мы доказали, что любая плоскость может быть представлена уравнением первой степени, но верна и обратная теорема: Любое уравнение первой степени между тремя переменными определяет плоскость. Докажем это утверждение. Уравнение первой степени имеет следующий общий вид:
где А, В, С можно считать координатами вектора а x, y, z – координатами некоторой точки М, принадлежащий плоскости, а следовательно координатами радиус – вектора точки М. Таким образом:
Уравнение (1) можно записать в виде:
Уравнение (2) всегда приводится к нормальному виду делением на , следовательно уравнение (1) определяет плоскость. Уравнение (1) называется общим уравнение плоскости. Любой вектор, отличный от нулевого, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. Тогда - будет одним из нормальных векторов плоскости. Например 8x + 5y + 3z -7 = 0 - есть общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор. Уравнение (3) параграфа 2.3.1, то есть нормальное уравнение плоскости в координатной форме есть частный случай общего уравнения (1) , когда за нормальный вектор выбран единичный вектор направленный от начала координат перпендикулярно плоскости. Следовательно, общее уравнение плоскости (1) всегда можно привести к нормальному уравнению по правилу: Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному виду, надо его разделить на , причем на , если D < 0 и на -, если D > 0. Или для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду надо умножить его на . Знак множителя взять противоположным знаку свободного члена D. Если D = 0, то знак множителя можно взять произвольно. Множитель М называется нормализующим множителем. После умножения на М уравнение (1) принимает вид: МAx + М By + М Cz + М D = 0, и совпадает с нормальным уравнением . Следовательно, имеем:
и , , . Для нормального уравнения: .
Пример. Уравнение плоскости x - 2y + 2z - 3 = 0 привести к нормальному виду и найти направляющие косинусы нормали. Решение:
- нормальный вектор.
(знак взят положительный,
так как D = - 3 < 0) Умножаем данное общее
уравнение плоскости на М:
- Нормальное уравнение плоскости. -
направляющие косинусы нормали.
|
|