ODE Lecture 6.1.

Темы | Предыдущая лекция | Следующий пункт | Литература

Лекция 2.3.

Плоскость и виды ее уравнения в пространстве.

2.3.1 Нормальное уравнение плоскости.

Положение плоскости в пространстве будет вполне определенно, если зададим ее расстояние р от начала координат О и единичный вектор , перпендикулярный плоскости и направленный от начала координат к плоскости (рисунок 1).

Рис. 1

Когда точка М движется по плоскости, то ее радиус – вектор меняется так, что все время связан некоторым условием. Очевидно, что для любой точки , лежащей на плоскости, имеем:

(1)

Это условие имеет место лишь для точек плоскости и нарушается, если точка М лежит вне плоскости. Таким образом, равенство (1) выражает свойство, общее всем точкам плоскости и только им. Используя равенство

Равенство (1) приводим к виду:

(2)

Уравнение (2) выражает собой условие, при котором точка

лежит на данной плоскости и называется нормальным уравнением плоскости.

Уравнение (2) записано в векторной форме. Переходя к координатам и помещая начало координат в начало векторов, запишем:

Где - углы, образованные с осями координат вектором . Используя формулу:

где и - координаты векторов, имеем:

Уравнение (2) в координатной форме будет иметь вид:

(3)

Таким образом, уравнение (3) является нормальным уравнением плоскости в координатной форме и выражает собой условие, когда точка M(x, y, z) лежит на плоскости.

Уравнение (3) есть уравнение первой степени относительно x, y, z, то есть всякая плоскость может быть представлена уравнением первой степени.