ODE Lecture 6.1.

Темы | Предыдущая лекция | Следующий пункт |Литература

Лекция 2.2.

Кривые второго порядка.

2.2.1 Окружность. Эллипс.

Окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от точки А(a, b) на расстояние R.

Из определения следует, что для любой точки М(x, y), принадлежащей геометрическому месту точек, справедливо равенство: AM = R. Так как , то отсюда следует:

(1)

Это геометрическое место точек есть окружность радиуса R и с центром в точке A(a, b), равенство (1) есть уравнение окружности.

Пример 1. Найти координаты центра и радиус окружности: .

Решение: Разделив уравнение на 9 и сгруппировав члены уравнения, получим:

. Дополним и до полных квадратов, прибавив к первому двучлену , а ко второму 9. Одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел. Получим следующее уравнение: , или . Таким образом, координаты центра окружности , b = 3 и радиус окружности R = 5.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина.

Эта постоянная больше расстояний между фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через

Рис. 1.

Пусть М – произвольная точка эллипса с фокусами . Отрезки и (также как и длины этих отрезков) называются фокальными радиусами точки М. Постоянную сумму фокальных радиусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

(2)

Расстояние между фокусами обозначим через 2с.

Так как , то 2a > 2c, то есть a > c.

Из определения эллипса непосредственно вытекает следующий способ построения его при помощи нити: если концы нерастяжимой нити длины 2а закрепить в точках и натянуть нить острием карандаша, то при движении острия оно будет вычерчивать эллипс с фокусами и суммой фокальных радиусов 2а.

Выведем уравнение эллипса. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через x и y. Обозначим через расстояния от точки М до фокусов (). Точка М будет находится на данном эллипсе только в том случае, когда

(3)

В равенстве (3) заменим переменные их выражениями через координаты x, y. Фокусы расположены на оси ОХ симметрично относительно начала координат, они имеют соответственно координаты (- с, 0), (с, 0).

(4)

Заменяя в равенстве (3) найденными выражениями, получим

(5)

Уединим в уравнении (5) первый радикал, после чего возведем обе части равенства в квадрат. Получим:

или

Возведем в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

, откуда:

(6)

Обозначим , а > с, следовательно и величина b - вещественна.

Уравнению (6) можно придать вид:

или

(7)

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллипса. Это уравнение второй степени. Таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

В частном случае, когда b = a, уравнение эллипса примет вид:

Такое уравнение определяет окружность радиуса а.

Эксцентриситет эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами эллипса к длине его большой оси:

Так как c < a, то , то есть эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы. Заметим, что , поэтому:

Отсюда: и .

Следовательно эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса, чем больше эксцентриситет, тем больше эллипс вытянут. В случае окружности b = a и .

Фокальные радиусы эллипса определяются по формулам:

Уравнение директрисы эллипса

Пример 2. Большая ось эллипса равна 12, а директрисами этого эллипса служат прямые .Найти уравнение эллипса. Чему равен его эксцентриситет?

Решение. Для составления уравнения эллипса надо знать его полуоси a и b. По условию 2а = 12, а = 6. Полуось b находим из соотношения . а с можно найти, использовав уравнение директрисы эллипса. Взяв правую директрису, получим . Откуда:

Имеем уравнение эллипса: .

Эксцентриситет эллипса: .

Задачи для самостоятельного решения.