Пусть задана декартова прямоугольная система координат и некоторая прямая. Обозначим через угол, на который нужно повернуть ось ОХ, чтобы придать ей одно из направлений данной прямой . Поворот оси ОХ до совпадения с прямой против часовой стрелки считаем положительным по часовой стрелке отрицательным. Назовем угол углом наклона данной прямой к оси ОХ. 

Рис. 1

Чаще всего в качестве угла наклона прямой к оси ОХ берут наименьшее, положительное значение угла (рисунок 1), а в случае, когда прямая параллельна оси ОХ, угол наклона её к оси ОХ считают равным 0.Тангенс угла наклона прямой к оси ОХ называется угловым коэффициентом этой прямой.

Обозначим . Если = 0, то и К = 0, то есть прямая, параллельная оси ОХ имеет угловой коэффициент равный 0. В случае  угловой коэффициент теряет арифметический смысл (не выражается ни каким числом), т.е. прямая, перпендикулярная к оси ОХ, не имеет углового коэффициента. Впрочем, очень часто говорят, что если прямая перпендикулярна к оси ОХ, ее угловой коэффициент «обращается в бесконечность»; этим выражают тот факт, что     при    .

Рис. 2.

Рассмотрим произвольную прямую, предположим только, что она не перпендикулярна к оси ОХ. Возьмем на ней любые две точки М₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂).  Угол  равен углу наклона рассматриваемой прямой к оси ОХ, следовательно, тангенс угла равен угловому коэффициенту этой прямой (рис. 2). Из рисунка видно, что:

(1)

Формула (1) выражает угловой коэффициент прямой по двум ее данным точкам.  

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дана некоторая прямая, предположим, что она не перпендикулярна к оси ОХ. Выведем уравнение данной прямой, полагая известными ее угловой коэффициент К и величину b отрезка ОВ, который она отсекает на оси OY (рис. 3). 

Рис. 3.

Обозначим через М переменную точку, через x, y ее координаты. Рассмотрим точку В (0, b) в которой прямая пересекает ось ОY. Вычислим правую часть формулы (1), приняв в качестве М1 точку В, в качестве М2, точку М. Если точка М лежит на данной прямой, то угловой коэффициент этой прямой:

(2)

Если М не лежит на данной прямой, то это равенство не будет соблюдаться. Следовательно, равенство (2) является уравнением данной прямой. Освобождаясь от знаменателя и перенося b в правую сторону, получим:

Итак, каждая прямая, не перпендикулярна к оси ОХ, может быть определена уравнением вида (3). Это уравнение называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Функция y = kx+b называется линейной. Итак, графиком линейной функции является прямая линия/ При b = 0, получим y = kx. Переменные x и y, связанные такой зависимостью называются пропорциональными друг другу; число k называют коэффициентом пропорциональности. Графиком функции y = kx является прямая, которая проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент k. 

Составим уравнение прямой, зная одну ее точку М₁(x₁, y₁) и коэффициент k. Искомое уравнение получается из формулы (1):

Применяя соотношение (4) решим следующую задачу: составим уравнение прямой, которая проходит через две данные точки М₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂). Пользуясь формулой (2.1) находим угловой коэффициент прямой:

после чего на основании (4) получаем исходное уравнение:

Последнее уравнение запишем в виде:

(5)