С системами дифференциальных уравнений встречаются при изучении процессов, для описания которых одной функции недостаточно.

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входит независимая переменная, искомые функции и их производные.

Решение системы, состоящей из нескольких уравнений с таким же числом неизвестных функций, можно привести к решению дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией. Метод такого приведения мы выясним для следующего частного случая.
Пусть нам дана система двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями:
.
Для того, чтобы привести решение этой системы к решению одного уравнения с одной неизвестной функцией, нужно исключить из этой системы одну из неизвестных функций и ее производную. Пусть, например, мы хотим исключить z и его производную из двух имеющихся у нас уравнений. Очевидно, что в данной ситуации мы не сможем одновременно исключить z и . Следовательно, нам необходимо иметь по крайней мере еще одно уравнение. Мы можем получить это дополнительное уравнение, продифференцировав первое уравнение системы:
.
Теперь у нас имеется три уравнения, мы можем исключить из них z и и получим одно уравнение, в которое войдут неизвестная функция y и производная от этой функции. Это уравнение будет линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Не трудно понять, что, желая исключить z и его производные, мы должны были дифференцировать первое уравнение, входящее в систему, а не второе, т.к. в противном случае в новое, полученное нами дифференциальное уравнение, входила бы производная , так что из системы трех уравнений мы должны были бы исключить величины z, , , что невозможно.
Получив выражение для y , можно отыскать другую неизвестную функцию z , подставив выражение для y и его производных в первое уравнение данной системы.

Пример

Пусть дана система
.
Приведем эту систему к виду, указанному выше, т.е. добьемся того, чтобы в одно уравнение входила лишь производная dy/dx, а в другое лишь производная dz/dx. Умножим второе уравнение на три и сложим его с первым уравнением, тогда получим:
.
Умножив первое уравнение на два и вычтя его затем из второго уравнения, получим:
.
Решим полученную систему:
.
Продифференцировав первое из этих уравнений, получаем:
.
Подставив в это уравнение значение dz/dx из второго уравнения нашей системы, получаем: .
Решаем это уравнение известным нам методом:
; ;
.
Подставив выражение для y и dy/dx в первое из уравнение нашей системы, получим следующее выражение для z :

или окончательно
.

Нахождение корней характеристического уравнения с использованием системы MathServ

       Характеристическое уравнение: