ODE Lecture 6.1.

Лекция 1.2.

Векторная алгебра

1.2.11 Линейное пространство.

В современной математике пространство определяется как множество однородных объектов (предметов, явлений, состояний и т.п.), для которых определены некоторые операции, подчиняющиеся определенным ограничениям. Например, трехмерное цветовое пространство, векторы которого соответствуют цветовым ощущениям и определяются тремя компонентами (базис пространства) - интенсивностями красного, зеленого и синего цветов. Состояние физической системы, описываемое некоторой совокупностью переменных (токи и напряжения электрической цепи, температуры и концентрации веществ в химическом реакторе и т.п.), можно представить вектором n-мерного пространства и называется пространством переменных состояний. Элементами абстрактных пространств могут быть функции, матрицы, некоторые системы чисел и т.д., а , в частности, и обычные векторы.

Пусть задано некоторое множество R, элементами которого являются объекты и т.д. Предположим, что задано некоторое правило (операция), по которому каждой паре элементов и множества R приводится в соответствие определенный элемент того же множества. Эту операцию назовем ”сложением” и обозначим символом +:

Пусть задана вторая операция, которая каждому элементу множества R и каждому вещественному числу приводит в соответствие также какой-то определенный элемент множества R. Эту операцию назовем ”умножением на число” и обозначим символом:

Множество R назовем линейным пространством, если для его элементов введены две операции ”сложение” и “умножение на число”, удовлетворяющие следующим условиям:

1) ;

2) ;

3) для любого элемента существует такой элемент , что;

4) для каждого существует такой элемент , что (элемент называется противоположным элементу и обозначается: -);

5)для любого ;

6) , для любого и любых чисел и ;

7), для любого и любых чисел и ;

8), для любых и любого числа .

Примеры линейных пространств

1) Множество всех вещественных чисел с обычными операциями сложения и умножения.

2) Арифметическое n-мерное векторное пространство.

3) Множество прямоугольных матриц размера с вещественными элементами.

4) Множество всех вещественных непрерывных на отрезке функций, обозначается .

Пример 1.

Показать, что множество функций вида

,

- действительные числа, образует относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число четырехмерное линейное пространство.

Решение:

Сумма двух функций

,

есть функция того же множества.

Действительно, ,

где

Аналогично,

,

где .

Выполнимость условий, характеризующих линейное пространство, очевидна; следовательно, данное множество функций образует линейное пространство. Система векторов этого пространства линейно - независима, т.к. если , то, полагая x = 0, получим ; при , получаем ; полагая , получим . Откуда находим . Полагая , получим .

Так как любая функция f данного множества линейно выражается через то система векторов образует базис, а рассматриваемое пространство функций четырехмерное.

Пример 2.

Найти размерность линейного пространства, порожденного векторами .

Решение:

Найдем максимальное число линейно независимых векторов; для чего составляем матрицу, строками которой являются векторы

,

Ранг этой матрицы, как нетрудно подсчитать, равен двум, причем отличным от нуля минором второго порядка будет минор . Следовательно, векторы , образуют базис рассматриваемого пространства, размерность которого равна двум.

Интересный пример линейных пространств дает органическая химия. Совокупность веществ можно рассматривать как множество, элементами которых являются атомы, молекулы или другие образования. Отображение этих множеств на множество чисел осуществим следующим образом. Допустим у нас имеются соединения из атомов углерода C и водорода H. Каждому соединению можно поставить в соответствие упорядоченную пару чисел , где i - число атомов водорода H, j- число атомов углерода C. Атомы водорода H и углерода C представляются парами (1,0) и (0,1) соответственно. Тогда, для соединения можно записать .

Все соединения , таким образом, можно представить элементами или векторами некоторого линейного (векторного) пространства, размерности 2, которое определено на множестве целых чисел , т. к. числа i и j должны быть целыми.

В общем случае задана конечная совокупность n атомов, из которых построены молекулы рассматриваемого множества. Обозначим упорядоченную совокупность чисел (вектор) , где 1 стоит на j-м месте: . Тогда вектор молекулы вещества , состоящего из этих атомов представляется в виде , где - число атомов в молекуле . Для реальных молекул .

Введем правила сложения и умножения на число, которые вытекают из закона сохранения вещества

Совокупность молекул , состоящих из атомов , таким образом, образует линейное пространство размерности n над множеством R вещественных целых чисел. Она может быть записана с помощью системы равенств