Систему линейных уравнений  AX = B можно решать различными способами. Если матрица коэффициентов квадратная, т.е. число неизвестных в системе равно числу уравнений (), то систему можно решить методом обратной матрицы. 

Под обратной к данной квадратной матрице A матрицей А^-1 подразумевают матрицу, которая будучи умножена как слева так и справа на данную матрицу A дает единичную матрицу:

,

где E - единичная матрица (нейтральный элемент относительно умножения матриц).

Составим матрицу А^-1 , обратную к A и умножим слева обе части уравнения на А^-1, получим

или, на основании правил, 

или , 

но E X = X, следовательно, .

Получив матрицу X по этому правилу, мы можем записать ее элементы , т.е. решение заданной системы уравнений. Нужно заметить, что решение систем уравнений матричным путем возможно только тогда, когда . В случае, когда , обратной матрицы  А^-1 не существует и формула теряет смысл.

Итак, решение матричного уравнения можно получить после предварительного получения обратной матрицы. Обратная матрица имеет специальную структуру:

(1.8)

Для получения  А^-1 можно рекомендовать следующий алгоритм:

(обратная матрица не существует) else .

где - транспонированная матрица, получаемая из A заменой строк столбцами, - присоединенная матрица, элементы которой получаются замещением элементов их алгебраическими дополнениями, т.е.

Пример.

Решить систему уравнений: .

Решение:

Обозначим матрицу из коэффициентов при неизвестных через

матрицу из свободных членов: ,

матрицу-столбец из неизвестных .

Систему перепишем в матричном виде:.

Следуя вышеприведенному алгоритму определим сначала

, а затем обратную матрицу: .

Искомая матрица ,

.

Ответ: .

Метод обратной матрицы ограничен использованием только для систем размерностью , для решения систем линейных уравнений общего вида размерностью более подходит метод Гаусса (см. главу 1.1. 6)

Задачи для самостоятельного решения.