Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература | ||||
|
||||
Лекция 1.1.
Элементы линейной алгебры |
||||
1.1.2. Система из n уравнений с n неизвестными. Рассмотрим общую квадратную систему линейных алгебраических уравнений, т.е. систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных:
Если , то система называется однородной. Однородная система всегда совместна, ибо имеет, по крайней мере, нулевое решение . Неоднородная система может быть несовместной и совместной. Если она совместна, то может быть неопределенной или определенной. Для сокращения выкладок выпишем систему из трех уравнений с тремя неизвестными.
Применяя метод исключения Гаусса, систему (1.4) можно привести к треугольному виду: и, если , к виду . Число главный определитель системы, который обозначается как и вычисляется по правилам вычисления определителей 3-го порядка. Числа - вспомогательные определители системы, получаются из , если соответствующий столбец заменить столбцом свободных членов: , , Все четыре данных определителя имеют три строки и три столбца и называются определителем 3 - го порядка. Для системы третьего порядка будем иметь: 1) если , то система совместна и определенна; 2) если , то система совместна и неопределенна; 3) если , но ; или ; или , то система несовместна. В общем случае будем иметь n + 1 определителей n - го порядка: . Формулы:
называются формулами Крамера. Таким образом, для квадратной системы линейных алгебраических уравнений имеются два, в каком -то смысле конкурирующих, метода. Первым является метод исключения Гаусса. Второй дает идея определителя. Чтобы воспользоваться вторым способом решения, надо иметь формулу для вычисления определителя произвольного n - го порядка и знать свойства определителей, которые могли бы быть использованы для облегчения процедуры их нахождения.
|
|