(1.3)

Если , то система называется однородной. Однородная система всегда совместна, ибо имеет, по крайней мере, нулевое решение .  Неоднородная система может быть несовместной и совместной. Если она совместна, то может быть неопределенной или определенной.

Для сокращения выкладок выпишем систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

(1.4)

Применяя метод исключения Гаусса, систему (1.4) можно привести к треугольному виду:

и, если , к виду .

Число главный определитель системы, который обозначается как

и вычисляется по правилам вычисления определителей 3-го порядка.

Числа - вспомогательные определители системы, получаются из , если соответствующий столбец заменить столбцом свободных членов:

, ,

Все четыре данных определителя имеют три строки и три столбца и называются определителем 3 - го порядка.

Для системы третьего порядка будем иметь:

1) если , то система совместна и определенна;

2) если , то система совместна и неопределенна;

3) если , но ; или ; или , то система несовместна.

В общем случае будем иметь n + 1 определителей n - го порядка: .

Формулы:

называются формулами Крамера. Таким образом, для квадратной системы линейных алгебраических уравнений имеются два, в каком -то смысле конкурирующих, метода. Первым является метод исключения Гаусса. Второй дает идея определителя. Чтобы воспользоваться вторым способом решения, надо иметь формулу для вычисления определителя произвольного n - го порядка и знать свойства определителей, которые могли бы быть использованы для облегчения процедуры их нахождения.