Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература

Лекция 11.1. Числовые ряды

11.1.4  Исследование на сходимость рядов.  Достаточные признаки сходимости.

На практике обычно бывает трудно решить вопрос о сходимости данного ряда при помощи критерия Коши. Поэтому важно иметь такие достаточные признаки сходимости и расходимости, которыми было бы удобно пользоваться при исследовании рядов. Рассмотрим следующие достаточные признаки сходимости и расходимости рядов. Признак сравнения. Пусть имеем два ряда с положительными членами:  U1 + U2 + U3 + ... + Un +... (1) V1 + V2 + V3 + ... + Vn +... (2) Если при любом n, то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Доказательство: Пусть ряд (2) сходится и сумма его равна V. Тогда частичная сумма ряда (1) при будет монотонно возрастающей, т.к. члены ряда положительны, и ограниченной сверху, ибо  , и поэтому она имеет предел  , т.е. ряд (1) сходится. Пусть теперь ряд (1) будет расходящимся. Это означает, что его частичная сумма неограниченно возрастает при , но   , поэтому при тем более неограниченно возрастает частичная сумма     ряда (2), т.е. ряд (2) расходится. Для сравнения часто используются ряды:    -          сходящийся – геометрическая прогрессия;       -        гармонический, расходящийся;  Примеры Используя признак сравнения, исследовать на сходимость следующие ряды: 1)    .            (V) Решение: Сравним данный ряд с расходящимся, гармоническим рядом . (U)  , т.к. с увеличением знаменателя дробь уменьшается, но ряд (U) расходящийся, следовательно, и ряд (V) тоже расходящийся. 2)   .       (U) Решение Сравним данный ряд с геометрической прогрессией              (V), т.е. сходящимся рядом, где   , но ряд (V) сходится, следовательно, ряд (U) тоже сходится.

 

Предельная форма признака сравнения

Если и - ряды с положительными членами и существует конечный предел , то если ряд (V) сходится, ряд (U) тоже сходится, если же ряд (V) расходится, ряд (U) тоже расходится. Замечание: ряд (U) исследуется на сходимость, а ряд (V) выбирается для сравнения. Примеры 1)  Исследовать на сходимость ряд                               (U) Решение Воспользуемся признаком сравнения, его предельной формой. Для сравнения возьмем расходящийся гармонический ряд                 (V) , но гармонический ряд (V) расходится, следовательно, и ряд (U) расходится. 2)   Исследовать на сходимость ряд                     Решение: Имеем ряд (U).    Для выяснения сходится он или расходится, воспользуемся предельной формой признака сравнения и для сравнения возьмем ряд      (V)    сходящийся. Найдем предел:                  Как известно, при                  бесконечно малая функция          . Поэтому,       , но т.к. ряд (V) сходится, ряд (U) тоже сходится.

Ряды вида

Вопрос о сходимости рядов такого вида, где Pk(n) – многочлен степени k,  Ql (n) многочлен степени  l  полностью исчерпывается сравнением с рядом , где a = l - k.   Удобнее при этом использовать признак сравнения в предельной форме. Пример: Исследовать на сходимость ряд:       .  Решение:    Для сравнения берем ряд         при , т.е.   - расходящийся гармонический ряд.  Найдем        (использовано правило Лопиталя ) =2 , но ряд (V) расходится, и ряд (U) тоже расходится. Задачи для самостоятельного решения.