Теорема
Определённый интеграл от непрерывной функции равен произведению длины интервала интегрирования на значение подинтегральной функции при некотором промежуточном значении аргумента, то есть:

Доказательство:
На основании формулы Ньютона - Лейбница , где .
По теореме Лагранжа о конечных приращениях функции:
, а так как

Геометрический смысл формулы.

Рис.1

При формула показывает, что криволинейная трапеция oABb (рис.1) имеет площадь равную некоторому прямоугольнику aEDb. Высота f(c) этого прямоугольника носит название среднего значения функции f(x) на промежутке [a, b]. То есть .

Следствие:
Если ,, то и при a > b из теоремы (о среднем) следует:

Данное свойство позволяет оценить величину определенного интеграла.