Лекция 13.3

Повторение испытаний

13.3.1  Схема последовательных испытаний

На практике приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие А. При этом представляет интерес исход не каждого отдельного испытания, а общее число появлений события А в результате определенного количества испытаний.

Общая постановка задачи такова: при заданных вероятностях каждого из возможных событий необходимо определить вероятность того, что за серию испытаний некоторое событие произойдет определенное число раз.

Если события независимы, то последовательность независимых испытаний называют схемой независимых испытаний или полиномиальной схемой, частным случаем которой (испытания с двумя исходами) является схема Бернулли. Последовательность независимых испытаний называют иногда цепями. Если знание исхода последнего испытания позволяет при прогнозе будущего испытания пренебречь информацией об исходах прошлых испытаний, то такие испытания называют цепями Маркова (цепями без последствий).

Рассмотрим теоретико – вероятностную модель последовательности независимых испытаний. Пусть в каждом испытании может наступить один из k исходов (1, 2, …, k) и события, связанные с различными испытаниями, причинно – независимые. Результат n испытаний можно записать в виде цепочки , где х_i - исход i - ого испытания. За множество можно принять множество всех возможных цепочек . Таким образом,

Событие = {в i – ом испытании наступил исход m} можно выразить через элементарные события, как подмножество :

С другой стороны, элементарное событие представляется как произведение событий

Элементарные вероятности исходя из независимости событий, определим равенством

=

(1)

где вероятности исходов отдельных испытаний удовлетворяют условиям

Последовательностью независимых испытаний называется конечная вероятностная схема, в которой вероятности элементарных событий определяется формулой (1), как произведение вероятностей исходов отдельных испытаний. Ее называют еще схемой независимых испытаний или полиномиальной схемой.

Частный случай схемы независимых испытаний, в котором каждое испытание может закончиться только одним из двух исходов, называют схемой Бернулли.

Обычно эти исходы называют «успехом» и «неудачей»., а их вероятности обозначают p и q = 1 – р ( ) соответственно. «Успехи» и «неудачи» для краткости обозначают символами 1 и 0 соответственно. В схеме Бернулли с n испытаниями имеем

Очевидно, что число «успехов» (или число 1) в цепочке равно сумме . Элементарные вероятности, определенные формулой  для схемы Бернулли, имеют вид:

.

Для схемы Бернулли часто представляет интерес событие  B_m  - {в n испытаниях наступило ровно m успехов}. В этом случае элементарная вероятность определяется формулой

при любом .

Число всех таких исходов совпадает с числом m мест для «1» в цепочке оставшиеся места заполняются «0», и определяются формулой . Следовательно, приходим к формуле:

.

где p - вероятность успеха в отдельном испытании.

  Для полиномиальной схемы вероятность того, что в испытаниях исход «1» наступит m₁ раз, исход «2» – m₂ раза, …, исход «k» – m_k раз, определяется равенством

где p_k – вероятность исхода m в отдельном испытании (m = 1, 2, …, k); – целые, неотрицательные числа, удовлетворяющие равенству

.

Когда вероятность появления события А меняется от испытания к испытанию, при вычислении вероятностей возможного числа наступления события А в n независимых испытаниях применяется так называемая производящая функция

После перемножения биномов и приведения подобных членов коэффициент при x^m представляет собой вероятность того, что событие А появится ровно m раз в n независимых испытаниях.

В заключение отметим, что биномиальное распределение широко используется при анализе качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и так далее. Полиномиальное распределение применяется в социологических, экономико-социологических, медицинских исследованиях.

Пример 1. 

Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке плунжера на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течении смены деталей у одной размеры диаметра не соответствую заданному допуску.

Решение. 

Условие задачи удовлетворяет условиям схемы Бернулли. Полагая n = 5, m = 1, p = 0.07, получим

Пример 2.

 Вероятность выхода из строя каждого мотора самолета равна q, причем моторы портятся независимо один от другого. Самолет может продолжать полет в том случае, если работают не менее половины его моторов. Для каких значений q двухмоторный самолет следует предпочесть четырехмоторному?

Решение.

Вероятность того, что мотор не выйдет из строя, равна p = 1 – q. Для решения задачи, в качестве модели применяем схему Бернулли. Пусть А = { успешный полет двухмоторного самолета }, В = { успешный полет четырехмоторного самолета }, Х – число работающих моторов. Тогда

Для ответа на поставленный вопрос – вероятность успешного полета двухмоторного самолета не меньше соответствующей вероятности для четырехмоторного, запишем неравенство или

Решим это неравенство. Перенося все члены неравенства в одну сторону, получим

или

Последнее равенство можно записать в виде .

При выражение в левой части обращается в ноль, то есть два типа самолетов имеют одинаковую вероятность успешного полета. Если то левая часть неравенства меньше нуля и двухмоторные самолеты предпочтительнее четырехмоторных. 

Замечание. На практике вероятность выхода из строя одного мотора много меньше .