Лекция 13.1

Теория вероятностей

13.1.6   Классическое определение вероятности. Конечное вероятностное пространство

Статистическую вероятность события можно вычислить только после производства эксперимента, однако в ряде случаев проводить эксперимент для определения вероятности или невозможно, или нецелесообразно. Классическое определение вероятности основано на интуитивном понятии равновозможности событий.

Несколько событий в данном эксперименте называются равновозможными, если по условию симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

Рассмотрим некоторый эксперимент с конечным числом взаимоисключающих друг друга исходов (элементарных событий), которые равновозможны. Обозначим А некоторое событие, связанное с указанным исходом. Тогда вероятность каждого элементарного события равна , где n – число исходов. 

Вероятность события ( - элементарные события) может быть определена как доля тех исходов, в результате которых это событие осуществляется

,

m – число тех исходов, которые приводят к наступлению события А. Из классического определения вероятности следует , так как .

Классическая вероятность обладает всеми свойствами аксиоматической вероятности. Тройку (, А, Р), в которой - пространство элементарных событий, А – алгебра событий, Р – вероятность событий называют вероятностным пространством. Оно дает самую общую математическую модель случайных явлений. Конечное вероятностное пространство иногда называют конечной схемой. В ней вероятность однозначно определяется элементарными вероятностями. Во многих случаях конечная схема служит хорошей математической моделью случайных явлений. Различные частные случаи общей математической модели случайных явлений часто называют схемами, указывая их характерные особенности (конечная схема, схема независимых испытаний, …). Рассмотренный выше частный случай конечной схемы (с равновозможными исходами) служит хорошей математической моделью случайных явлений из области азартных игр, лотерей, выборочного контроля, выборочных статистических исследований, и. т. д.

Для подсчета количества исходов в формуле классической вероятности оказываются полезными различные комбинаторные формулы. Приведем основные из них.

Из конечного множества , состоящего из n различных элементов, можно образовать различные наборы, состоящие из m (m < n) элементов. Упорядоченные наборы называют размещениями, а неупорядоченные – сочетаниями. Размещения из n элементов по n называют перестановками. Различные перестановки содержат одни и те же элементы, расположенные в разном порядке.

Число размещений, которое можно образовать, выбирая различными способами m элементов из n, обозначают и определяют по формуле

.

Число сочетаний, обозначают символом и определяют по формуле

.

Число перестановок находят по формуле

.