ODE Lecture 6.2.

Темы \| Предыдущий пункт \| Следующий пункт \| Литература

Лекция 6.2. Дифференциальные уравнения высших порядков


6.2.2. Некоторые типы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка 1) Уравнения, не содержащие в своей записи искомую функцию y
Метод решения рассмотрим на примере уравнения второго порядка. Уравнение вида не содержит явным образом искомой функции y . Порядок такого уравнения может быть понижен. Действительно, положим . Тогда . Подставляя эти выражения производных в рассматриваемое уравнение, получим уравнение первого порядка относительно неизвестной функции p от x . Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение , а затем из соотношения получаем общий интеграл исходного уравнения: . Аналогично можно понизить порядок у дифференциальных уравнений (n)-го порядка. Пример Решить уравнение . Положим y^' = p, тогда и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p : . Это уравнение является линейным. Найдем его общее решение, используя метод вариации произвольной постоянной. , . Итак, , т.е. . Следовательно, . Замечание. Аналогичным способом можно проинтегрировать уравнение . Полагая y^n-1 = p, получим для определения p уравнение первого порядка: . Определив отсюда p как функцию от x , из соотношения y^n-1 = p найдем функцию y .

2) Уравнения, не содержащие аргумента искомой функции x

Метод решения опять рассмотрим на примере уравнения второго порядка.

Уравнение вида не содержит явным образом независимую переменную x . Порядок этого уравнения также может быть понижен. И в этом случае полагаем , но теперь мы будем считать p функцией от y (а не от x , как прежде). Тогда
.
Подставляя в рассматриваемое уравнение выражение производных, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p :
.
Интегрируя его, найдем p как функцию от y и произвольной постоянной : . Вспоминая, что
,
получим дифференциальное уравнение первого порядка для функции y от x :
.
Разделяя переменные, находим:
.
Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения: .

Пример

Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям .
Данное уравнение не содержит x . Положим , рассматривая p как функцию от y . Тогда

и мы получаем уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p :
.
Разделяя переменные, будем иметь:
.
Откуда

или
,
т.е.
.
Здесь мы можем сразу определить значение произвольной постоянной C₁, используя начальные условия: .
Следовательно,
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим:

или
.
Пользуясь тем, что , найдем : . Искомое частное решение запишется:
.

Задачи для самостоятельного решения.