Аффинные координаты точки

Определение 1.

Аффинная система координат в пространстве определяется заданием базиса и некоторой точки О, называемой началом координат.

Определение 2.  

Аффинными координатами любой точки М называются координаты вектора , определяемые относительно базиса .

Так как каждый вектор может быть, и притом единственным способом, разложен по базису , то каждой точке М пространства однозначно соответствует тройка аффинных координат (см. рис. 2.13.a).

При решении задач чаще используются декартовы прямоугольные координаты.

Декартова прямоугольная система координат является частным случаем аффинной системы.

Декартовы прямоугольные координаты

Определение 3.  

Совокупность фиксированной точки O (начало координат) и ортонормированного базиса называется прямоугольной декартовой (или просто прямоугольной) системой координат в пространстве.

Прямые Ox, Oy и Oz, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов называются осями координат. Оx - ось абсцисс, Оy - ось ординат, Оz - ось аппликат (см. рис. 2.13.б)).

Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Они делят пространство на восемь областей - октантов.

Координатами точки М называются координаты радиуса - вектора в базисе ; при этом пишут М (x; y; z), где x - абсцисса, y - ордината, z - аппликата точки М. Векторы можно называть ортами координатных осей.

Определение 4.  

Декартовы прямоугольные координаты x, y и z вектора равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy и Oz соответственно.

Обозначим через  углы наклона вектора к осям координат Ox, Oy и Oz соответственно (рис. 2.13), Три числа принято называть направляющими косинусами вектора .

Используя определение проекций получим следующие формулы для координат x, y и z вектора :

, , .

Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, то получим следующее выражение для длины вектора через его координаты:

Направляющие косинусы вектора можно выразить формулами:

; ,

Легко проверить справедливость формулы: