Лекция 11.1.

Числовые ряды

11.1.2. Необходимый признак сходимости ряда

Найдем сумму n -1 и n его членов: 

S_n-1 = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n-1

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n-1+ U_n

Вычтя из  второго равенства первое, получим: 

Перейдем к пределу в равенстве (2) при    :     

(3)

Так как ряд (1) по условию сходящийся, то . Тогда равенство (3) можно переписать так:       или                                                                                   

(4)

Таким образом, приходим к выводу:

Для сходимости ряда необходимо, чтобы общий член ряда стремился к нулю, когда его номер неограниченно возрастает, т.е.         и есть необходимое условие сходимости ряда, или такое условие, без наличия которого ряд не может сходиться.  Однако это условие, будучи необходимым, оказывается, не является достаточным. Покажем это на примере.

Возьмем так называемый гармонический ряд:

Для него необходимое условие сходимости выполняется, т.к.   . 

Однако этот ряд является расходящимся. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся известным равенством:         

(5)

Логарифмируем равенство (5): 

(6)

но      

Неравенство (6) примет вид:

(7)

Пусть n =1, 2, 3, 4, 5, …, тогда запишем:

Задачи для самостоятельного решения.